Bài tập không gian vecto con có lời giải

Mời chúng ta cùng tìm hiểu thêm nội dung bài xích giảng Bài 4: Không gian vectơ con sau đây nhằm khám phá về không gian veckếch xù, không khí veckếch xù sinch do hệ vecto.

Bạn đang xem: Bài tập không gian vecto con có lời giải


*

Tập con(A e emptymix ) của Rn được gọi là không khí vectơ con của Rn nếu:

(eginarrayl (i),,forall x,y in A,x + y in A\ (ii),forall altrộn in R,forall x in A,alpha x in A endarray)

Ví dụ: Cho (A = m (x_1;1)/x_1 in R m ). A có phải là không gian vectơ con của R2 không ?

Giải:

Ta có: 2.(0; 1) = (0,2) ( otin )A

Vậy, đặc thù (ii) ko thỏa đề nghị A chưa hẳn là không gian vectơ bé của R2.

Ví dụ: Cho (A = left (x_1;x_2) in R^2/x_2 = 3x_1 ight\). A liệu có phải là không khí vectơbé của R2 không ?

Giải:

((i),Coi,x = (x_1;x_2) in A,,y = (y_1;y_2) in A,,thì,x_2 = 3x_2,và,y_2 = 3y_1)

Suy ra: (x + y = (x_1 + y_1;x_2 + y_2) in A,,vì,x_2 + y_2 = 3(x_1 + y_1))

((ii),,Coi,alpha in R,x = (x_1;x_2) in A,thì,x_2 = 3x)

Suy ra:(altrộn x = (alpha x_1;alpha x_2) in A,vì,alpha x_2 = 3(altrộn x_1))

Vậy, A là 1 không gian vectơ bé của R2.

Trong R2:

Không gian vectơ nhỏ 0 chiều là cội tọa độ OKhông gian vectơ bé một chiều là mặt đường trực tiếp trải qua gốc tọa độ.Không gian vectơnhỏ 2D là thiết yếu R2.

Trong R3:

Không gian vectơ bé 0 chiều là gốc tọa độ OKhông gian vectơ nhỏ một chiều là các mặt đường thẳng đi qua cội tọa độ.Không gian vectơ bé 2D là các phương diện phẳng trải qua nơi bắt đầu tọa độ.Không gian vectơ nhỏ 3 chiều là chính R3.

Từ quan niệm của không khí vectơ bé, ta chứng minh được: Nếu A là không gian vectơ con của Rn thì A đựng vectơ không

Vậy giả dụ A ko đựng veclớn ko thì A không hẳn là không khí vectơ bé.

Xem thêm: Lmht: Chi Tiết Bản Cập Nhật 10.6, Lmht: Chi Tiết Bản Cập Nhật 10

Ví dụ: A =(x1; 1) chưa hẳn là không gian con của R2 vày A ko đựng vectơ không.


2. Không gian vectơ nhỏ sinch vị hệ vectơ.


Cho V là hệ gồm m vectơ vào Rn.

Tập đúng theo toàn bộ những tổ hợp tuyến tính của m vectơ kia tạo thành thành một không khí nhỏ của Rn Điện thoại tư vấn là không khí sinc do V, ký hiệu (leftlangle V ight angle ). Không gian (leftlangle V ight angle ) bao gồm số chiều thông qua số vectơ hòa bình tuyến đường tính buổi tối nhiều của hệ vectơ đó.

Ví dụ: Cho hệ vectơ V = (1;0;0),(0:1;0),(1;1;0). Tìm không gian nhỏ sinc do V cùng số chiều của không khí bé này.

Giải

Ta có: (1;1;0) = (1;0;0) + (0;1;0)

(1;0;0),(0;1;0) chủ quyền tuyến tính. Tổ đúng theo đường tính tùy ý của (1; 0; 0), (0; 1; 0) tất cả dạng x1 (1; 0; 0) + x2 (0; 1; 0) = (x1 ; x2 ; 0)

Vậy, không gian bé sinh vị V là(leftlangle V ight angle = m ( mx_1;x_2;0)/x_1,x_2 in R m )có(dyên ổn leftlangle V ight angle = 2)