Tính ma trận nghịch đảo

Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPmùi hương pháp Tân oán Lý (PT Đạo hàm riêng biệt cùng PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. Khái niệm ma trận nghịch đảo (matrix inversion):

1.1 Định nghĩa 1:

Ma trận vuông I cung cấp n được hotline là ma trận đơn vị chức năng giả dụ A.I = I.A = A, với đa số ma trận vuông A cấp cho n

Ta phân biệt ma trận bên trên là trường tồn. Thật vậy, ma trận thỏa ĐK bên trên tất cả dạng sau:


*

Ma trận đơn vị cung cấp n


Bên cạnh đó, ma trận đơn vị chức năng là duy nhất. Thật vậy, đưa sử gồm hai ma trận đơn vị chức năng I với I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị phải I.I’ = I’.I = I’

và I’ là ma trận đơn vị cần I’.I = I.I’ = I

Vậy: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là 1 ma trận vuông cung cấp n bên trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, trường hợp trường thọ một ma trận B vuông cấp cho n bên trên K sao cho: A.B = B.A = In. lúc kia, B được Gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, cam kết hiệu A-1.

Bạn đang xem: Tính ma trận nghịch đảo

Như vậy: A.A-1= A-1.A= In

1.3 Nhận xét:

1. Ma trận nghịch hòn đảo là tuyệt nhất, bởi giả sử vĩnh cửu ma trận C vuông cấp cho n cũng là ma trận nghịch hòn đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C

2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, tức thị A lại là ma trận nghịch đảo của A-1

3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, hiện giờ, có tương đối nhiều giáo trình nước ngoài đang đề cùa đến định nghĩa khả nghịch của ma trận bất kỳ.

Thật vậy, đến A là ma trận cung cấp m x n trên ngôi trường số K. khi đó, ta bảo A là khả nghịch trái nếu như vĩnh cửu ma trận L cấp cho n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải nếu mãi mãi ma trận R cung cấp n x m sao cho: A.R = Im. Và lúc đó, tất nhiên A khả nghịch nếu A khả nghịch trái cùng khả nghịch yêu cầu.

4. Ma trận đơn vị là khả nghịch, Ma trận không ko khả nghịch.

5. Tập phù hợp các ma trận vuông cung cấp n bên trên K khả nghịch, được ký kết hiệu là GLn(K).

1.4 Các ví dụ:

Xét những ma trận vuông thực, cấp 2 sau đây:

*

Ta có: A.B = B.A = I2. Do đó: A, B là khả nghịch và A là nghịch hòn đảo của B; B là nghịch đảo của A

Ma trận C ko khả nghịch bởi với đa số ma trận vuông cấp 2 ta hầu hết có:

*
Nhận xét: Ma trận bao gồm tối thiểu 1 dòng ko (hoặc cột không) phần đa ko khả nghịch.

Xem thêm: Phân Biệt 2 Nhóm Game Thủ Try Hard Nghĩa Là Gì Để Đáp Ứng Họ? Try Hard Là Gì

2. Tính chất:

1. Nếu A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch cùng (AB)-1= B-1. A-1

2. Nếu A khả nghịch thì ATkhả nghịch cùng (AT)-1= (A-1)T

(quý khách hãy thừ minh chứng hiệu quả bên trên nhé)

3. Mối quan hệ nam nữ giữa ma trận khả nghịch với ma trận sơ cấp:

3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cấp n trên K (n ≥ 2) được Call là ma trận sơ cung cấp dòng (cột) giả dụ E nhận được từ bỏ ma trận đơn vị chức năng In bời đúng 1 phép biến hóa sơ cấp dòng (cột). Các ma trận sơ cấp cho cái hay cột Gọi bình thường là ma trận sơ cấp.

3.2 Tính chất: Mọi ma trận sơ cung cấp loại (giỏi cột) phần đa khả nghịch cùng nghịch đảo của nó lại là một trong những ma trận sơ cấp chiếc.

Ta hoàn toàn có thể soát sổ thẳng kết quả bên trên bởi thực nghiệm:

Ma trận sơ cung cấp dạng 1: nhân 1 mẫu của ma trận đơn vị chức năng cùng với α ≠ 0


*

Ma trận sơ cấp dạng 1


*

Ma trận sơ cung cấp dạng 2


*

Ma trận sơ cấp cho dạng 3


3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cung cấp n bên trên K (n ≥ 2). khi đó, các khẳng định sau đấy là tương đương:

1. A khả nghịch

2. In nhận ra trường đoản cú A vày một số hữu hạn các phxay biến đổi sơ cấp cho dòng (cột)

3. A là tích của một số hữu hạn các ma trận sơ cấp

(Bạn phát âm rất có thể xem minh chứng định lý này trong ca1c giáo trình về ĐSTT)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cung cấp n bên trên K (n ≥ 2). lúc kia, những xác minh sau đây là tương đương:

1. A khả nghịch Khi và chỉ Khi dạng thiết yếu tắc của A là In

2. Nếu A khả nghịch thì In nhận thấy trường đoản cú A vì một vài hữu hạn các phnghiền biến hóa sơ cấp cho chiếc (cột); bên cạnh đó, chủ yếu dãy những phxay chuyển đổi sơ cấp cho mẫu (cột) đó sẽ thay đổi In thành nghịch hòn đảo của ma trận A.

4. Thuật toán Gausβ – Jordan tìm kiếm ma trận nghịch đảo bằng phnghiền thay đổi sơ cấp:

Ta áp dụng thuật tân oán Gausβ – Jordan nhằm kiếm tìm nghịch đảo (giả dụ có)của ma trận A vuông cung cấp n trên K. Thuật tân oán này được xuất bản phụ thuộc vào hiệu quả thứ 2 của hệ trái 3.4. Ta thực hiện công việc sau đây

Bước 1: lập ma trận n sản phẩm, 2n cột bằng phương pháp ghép thêm ma trận đơn vị chức năng cấp n I vào bên nên ma trận A


*

Lập ma trận đưa ra khối cấp cho n x 2n


Bước 2: Dùng những phép thay đổi sơ cung cấp dòng để đưa < A|I > về dạng < A’ | B >, trong các số ấy A’ là một trong ma trận cầu thang thiết yếu tắc.

Xem thêm: Coreldraw X7 Has A New Version: Download Your Trial Free Now

– Nếu A’ = In thì A khả nghịch và A-1 = B

– Nếu A’ ≠ In thì A không khả nghịch. Nghĩa là, vào quy trình chuyển đổi ví như A’ xuất hiện thêm ít nhất 1 mẫu ko thì lập tức Kết luận A không khả nghịch (không nhất thiết phải chuyển A’ về dạng thiết yếu tắc) cùng xong xuôi thuật tân oán.

Ví dụ minch họa: Sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm kiếm ma trận nghịch hòn đảo của:


Chuyên mục: Công Nghệ